Conway-Kreis

Conway-Kreis mit innenliegendem Dreieck

Wenn die Seiten eines in einem Kreis liegenden Dreiecks jeweils um die Länge der gegenüberliegenden Dreiecksseiten verlängert werden, dann liegen die Enden auf dem sogenannten Conway-Kreis. Dieser Kreis hat denselben Mittelpunkt wie der Inkreis des Dreiecks.

Für den Radius ${\displaystyle \rho }$ des Conway-Kreises gilt zudem

${\displaystyle \rho ={\sqrt {r^{2}+s^{2}}},}$

wobei ${\displaystyle r}$ der Inkreisradius ist und ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ dem halben Dreiecksumfang entspricht.

Beweis:

Aus ${\displaystyle |AM|=|AN|=a}$ folgt, dass jeder Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{a}}$ liegt und der durch den Punkt ${\displaystyle M}$ verläuft, auch durch ${\displaystyle N}$ geht. Aus ${\displaystyle |BM|=c+a=|BS|=a+c}$ folgt, dass jeder Kreis, der auf der Winkelhalbierenden ${\displaystyle \omega _{b}}$ liegt und durch ${\displaystyle M}$ verläuft, auch durch ${\displaystyle S}$ geht. Daraus folgt, dass der Kreismittelpunkt ${\displaystyle Mi}$ auf dem Schnittpunkt von ${\displaystyle \omega _{a}}$ und ${\displaystyle \omega _{b}}$ liegt und der Radius gleich ${\displaystyle MiN}$ durch die drei Punkte ${\displaystyle N,M}$ und ${\displaystyle S}$ verläuft. Diese Überlegung gilt analog für jedes Tripel von benachbarten Punkten. Damit liegen alle sechs Punkte auf dem Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle Mi}$, was zu zeigen war.[2]

Der Conway-Kreis ist ein Spezialfall einer generellen Kreis-Dreiecks-Beziehung, die man wie folgt erhält:

Bei einem Dreieck mit den Eckpunkten ${\displaystyle A,B,C}$ und einem willkürlichen Punkt ${\displaystyle P}$ auf der Strecke ${\displaystyle AB}$ werden die folgenden Strecken konstruiert:

${\displaystyle BQ=BP,CR=CQ,AS=AR,BT=BS,CU=CT}$

Dann gilt ${\displaystyle AU=AP}$ und die Punkte ${\displaystyle P,Q,R,S,T,U}$ sind konzyklisch, das bedeutet die sechs Punkte liegen auf einem Kreis; dem Conway-Kreis.[3]

• Richard Ollerton: The Conway Circle Theorem: Equivalence and Generalization. In: Mathematics Magazine, Volume 97, 2024 – Issue 1, S. 1–9
• Eric Braude: Conway’s Circle Theorem: A Short Proof, Enabling Generalization to Polygons. In: CSECS-2020: 16th Annual International CSECS Conference on Computer Science and Education in Computer Science. Sofia, Bulgaria, 2021-09-18 - 2021-09-18. (Digitalisate: arvix, Researchgate, OpenBU)
• Michael De Villiers: Conway's Circle Theorem as a Special Case of a More General Side Divider Theorem. In: Learning and Teaching Mathematics, No. 34, 2023, S. 37–42 (Digitalisat)

Commons: Conway-Kreis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Conway's Circle Theorem (englisch)
• Colin Beveridge, Elizabeth A. Williams: Conway’s Circle Theorem: a proof, this time with words. The Aperiodical, 11. Juni 2020 (Video, 9:12 Min.)
• GeoGebra: Konstruktive Animation eines Conway-Kreises

1. Eric W. Weisstein: Conway Circle. In: MathWorld (englisch).
2. Spektrum der Wissenschaft: Conway-Kreis, Treitz-Rätsel vom 27. April 2018, aufgerufen am 1. März 2024.
3. Francisco Javier García Capitán: A Generalization of the Conway Circle. in: Forum Geometricorum. Vol. 13, 2013, S. 191–195.