Kreisspiegelung

Liegt das Inversionszentrum bei ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ und ist der Inversionsradius ${\displaystyle R}$, dann liegt der Bildpunkt von ${\displaystyle (x,y)}$ wie in der #Definition bereits angegeben bei

${\displaystyle (x',y')=(x_{0},y_{0})+{\frac {R^{2}(x-x_{0},y-y_{0})}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}}$

In der komplexen („Gaußschen“) Zahlenebene hat die Spiegelung am Kreis um das Inversionszentrum ${\displaystyle c}$ mit Inversionsradius ${\displaystyle R}$ die Darstellung:[3]

${\displaystyle z'=c+{\frac {R^{2}}{\overline {z-c}}}}$

In ihrer Polarform ${\displaystyle z=r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\varphi }}$ mit komplexem Argument ${\displaystyle \varphi }$ schreibt sich das ähnlich wie in Polarkoordinaten oben:

${\displaystyle z=c+r{\rm {e}}^{{\rm {i}}\varphi }\mapsto c+{\frac {R^{2}}{r}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\varphi },\;r\neq 0}$

Bild 1: Konstruktion des am Inversionskreis (rot) gespiegelten Bildpunktes P' mit Zirkel und Lineal.

• Liegt P auf dem gegebenen Kreis, so ist P' gleich P.
• Falls der Punkt P außerhalb des Kreises liegt (Bild 1), zeichnet man mithilfe des Thaleskreises die beiden Kreistangenten durch P. Anschließend bringt man die Verbindungsstrecke der beiden Berührpunkte mit der Halbgeraden [MP zum Schnitt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Bildpunkt P′.[2]
• Liegt der Punkt P dagegen im Kreisinneren, so beginnt man mit der zur Halbgeraden [MP senkrechten Kreissehne durch P und konstruiert die beiden Kreistangenten in den Endpunkten dieser Sehne. P' ergibt sich dann als Schnittpunkt dieser Tangenten.

Der Beweis, dass man so den Bildpunkt erhält, folgt direkt aus dem Kathetensatz.

Eine etwas einfachere Konstruktion (grün im Bild) beginnt mit der zur Halbgeraden [MP senkrechten Kreissehne in M mit den Endpunkten C bzw. D, die somit Endpunkte eines Durchmessers des Inversionskreises sind. Die Verbindungsgerade eines dieser Punkte mit dem zu spiegelnden Punkt (hier PD oder P′C) schneidet den Inversionskreis in E und der Schnittpunkt der Verbindungsgerade von E mit dem anderen Endpunkt (EC bzw. ED) mit der Halbgeraden [MP ist der gesuchte Bildpunkt.

Bild 2: Der Urbildpunkt ${\displaystyle P}$ wird nur mit Hilfe eines Zirkels am Inversionskreis (rot) gespiegelt, es ergibt sich der Bildpunkt ${\displaystyle P'.}$

• Liegt der Punkt ${\displaystyle P}$ außerhalb des Inversionskreises (Bild 2), so zeichnet man um ${\displaystyle P}$ einen Kreis durch den Mittelpunkt des Inversionskreises. Dieser schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten. Zeichne auch um diese Punkte Kreise durch den Mittelpunkt. Diese beiden Kreise schneiden sich nun im Bildpunkt ${\displaystyle P'}$.[5]
• Liegt ${\displaystyle P}$ auf dem Inversionskreis, so ist keine Konstruktion notwendig, es gilt ${\displaystyle P'=P.}$
• Liegt ${\displaystyle P}$ innerhalb des Inversionskreises, kann z. B. mithilfe einer Einteilung der möglichen Lagen des Punktes ${\displaystyle P}$ in drei Bereiche (Bild 3–5), eine deutliche Vereinfachung des Konstruktionsaufwandes für zwei Bereiche erreicht werden. Hierfür stellt man sich, quasi gedanklich, eine Kreisfläche (hellgrau) vor, deren Radius gleich ist dem halben Radius des Inversionskreises. Für die eigentliche Konstruktion ist die Kreisfläche (hellgrau) nicht erforderlich. Die drei Bereiche der möglichen Lage des Punktes ${\displaystyle P}$, meist gegeben als Abstand zum Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Inverskreises, und die dafür möglichen Konstruktionsmethoden sind:

1. Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ (Bild 3) ist größer als der halbe Radius des Inversionskreises, d. h. ${\displaystyle |{\overline {MP}}|>{\frac {1}{2}}R.}$

Zuerst wird um den Punkt ${\displaystyle P}$ ein Kreis mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ gezogen. Dieser schneidet den Inversionskreis in den Punkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B.}$ Die abschließenden Kreise um ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ mit den Radien ${\displaystyle |{\overline {AM}}|}$ bzw. ${\displaystyle |{\overline {BM}}|}$ liefern den Bildpunkt ${\displaystyle P'.}$

2. Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ (Bild 4) ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises, d. h. ${\displaystyle |{\overline {MP}}|={\frac {1}{2}}R.}$ Hierzu wird der Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ mit ${\displaystyle 4}$ multipliziert um den Bildpunkt ${\displaystyle P'}$ zu erhalten.[6]

Zuerst wird um den Punkt ${\displaystyle P}$ ein Kreis mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ gezogen und anschließend, mittels dreimaligem Abtragen dieses Radius ab dem Punkt ${\displaystyle M}$, sein Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MC}}|}$ bestimmt. Als Nächstes wird der letzte Kreis mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {MC}}|}$ um den Punkt ${\displaystyle C}$ gezogen. Abschließend bedarf es noch eines zweimaligen Abtragens dieses Radius, ab den soeben erzeugten Schnittpunkt ${\displaystyle D,}$ um den Bildpunkt ${\displaystyle P'}$ zu erhalten.

Bild 5: Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ ist kleiner als die Hälfte, aber größer als ein Achtel des Radius des Inversionskreises (rot), ${\displaystyle {\tfrac {1}{8}}R<|{\overline {MP}}|<{\tfrac {1}{2}}R.}$, ${\displaystyle |{\overline {MP'}}|=6\cdot |{\overline {MP}}|}$

Bild 4: Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ ist gleich dem halben Radius des Inversionskreises (rot),  ${\displaystyle |{\overline {MP}}|={\tfrac {1}{2}}R.}$, ${\displaystyle |{\overline {MP'}}|=4\cdot |{\overline {MP}}|}$

Bild 3: Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ ist größer als der halbe Radius des Inversionskreises (rot), ${\displaystyle |{\overline {MP}}|>{\tfrac {1}{2}}R.}$

3. Der Abstand des Punktes ${\displaystyle P}$ zu ${\displaystyle M}$ (Bild 5) ist kleiner als die Hälfte, aber größer als ein Achtel des Radius des Inversionskreises, d. h. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}R<|{\overline {MP}}|<{\frac {1}{2}}R.}$ Hierzu wird der Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ mit ${\displaystyle 6}$ multipliziert um den Bildpunkt ${\displaystyle P'}$ zu erhalten.[6]

Im nebenstehenden Bild 5, veranschaulicht die kleine Kreisfläche (rosa) ein Achtel des Radius des Inversionskreises. Für die eigentliche Konstruktion ist die Kreisfläche (rosa) nicht erforderlich. Dies gilt ebenso für die eingezeichneten gepunkteten Linien; sie sollen lediglich einen Vergleich mit der Konstruktion Mit Zirkel und Lineal verdeutlichen.

Zuerst wird um den Punkt ${\displaystyle P}$ ein Kreis mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ gezogen und anschließend, durch ein dreimaliges Abtragen dieses Radius, sein Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MC}}|}$ bestimmt. Es folgt ein Kreisbogen um ${\displaystyle C}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MC}}|,}$ auf dem, analog zuvor, der Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MF}}|}$ erzeugt wird. Nun wird ein Kreisbogen um ${\displaystyle F}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MF}}|}$ gezogen, der den Inversionskreis in ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ schneidet. Je ein Kreisbogen um ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle H}$ mit den Radien ${\displaystyle |{\overline {MG}}|}$ bzw. ${\displaystyle |{\overline {MH}}|}$ schließen sich an und schneiden sich in ${\displaystyle I.}$ Um ${\displaystyle I}$ wird ein Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MI}}|}$ gezogen auf dem, analog zuvor, der Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {ML}}|}$ erzeugt wird. Als Nächstes wird der letzte Kreis mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {ML}}}$ um den Punkt ${\displaystyle L}$ gezogen. Abschließend bedarf es noch eines dreimaligen Abtragens dieses Radius, ab dem Punkt ${\displaystyle M}$ um den Bildpunkt ${\displaystyle P'}$ zu erhalten.

• Universelle Methode für Liegt ${\displaystyle P}$ innerhalb des Inversionskreises:

Zunächst halbiert man den Radius des Inversionskreises so oft, bis man einen neuen Kreis erhält, der den Punkt ${\displaystyle P}$ nicht mehr enthält. (Dies ist mit Zirkel allein möglich.) Anschließend konstruiert man wie oben (Bild 2) den Bildpunkt von ${\displaystyle P}$, wobei die Inversion am neuen Kreis durchgeführt wird. Zuletzt verdoppelt man den Abstand des Bildpunktes doppelt so oft wie man den Radius halbiert hat. (Auch dies ist mit Zirkel allein möglich.) Dieser Punkt ist der gesuchte Bildpunkt.

Auf Grund der Komplexität dieses Verfahrens wird man die Konstruktion wohl kaum durchführen, sie bietet aber eine Möglichkeit den Satz von Mohr-Mascheroni zu beweisen, der besagt, dass man mit Zirkel allein alle Konstruktionen durchführen kann, die mit Zirkel und Lineal möglich sind.

Bei der Kreisspiegelung von Geraden sind zwei Fälle zu unterscheiden:

1. Geraden, die durch das Inversionszentrum führen, werden auf sich selbst abgebildet.
2. Andere Geraden werden auf Kreise abgebildet, die durch das Inversionszentrum führen und dort eine Tangente besitzen, die parallel zur Geraden ist. Der Mittelpunkt des Kreises liegt auf der Strecke vom Inversionszentrum zu dessen Fußpunkt auf der Geraden.

Der Fußpunkt des Inversionszentrums M auf der Geraden wird auf den Endpunkt des Durchmessers des Spiegelbildes abgebildet, der durch M verläuft. Daher stehen Durchmesser d=|MD| des Kreises und Abstand L=|MD′| des Fußpunktes D′ vom Inversionszentrum auf der Geraden im Zusammenhang

${\displaystyle d={\frac {R^{2}}{L}}}$

und können auseinander abgeleitet werden (grün im Bild 6). Mit dem Durchmesser kann der Kreis und mit dem Fußpunkt die Gerade angegeben werden; sie ist senkrecht auf MC.

Bild 6: Konstruktion der Kreisspiegelung von Geraden

Ist der Kreis gegeben und schneidet den Inversionskreis in zwei Punkten, so wie der grüne Kreis in den Punkten A und B im Bild 6, dann ist sein Spiegelbild die Gerade AB. Berührt der Kreis den Inversionskreis nur, so ist sein Spiegelbild die Tangente an den Inversionskreis in diesem Berührungspunkt (blassgelb). Wenn der Kreis keinen gemeinsamen Punkt mit dem Inversionskreis teilt, wie der blaue Kreis um N im Bild, dann wird, wie in #Kreisspiegelung eines Punktes beschrieben, das Spiegelbild des dem Inversionszentrum gegenüberliedenden Endes des Durchmessers D konstruiert. Im Bildpunkt D′ wird die zu MD senkrechte Gerade errichtet, die das Spiegelbild des Kreises ist.

Ist die Gerade gegeben und schneidet sie den Inversionskreis in zwei Punkten, wie die grüne in den Punkten A und B, dann ist das Spiegelbild der Umkreis des Dreiecks mit Ecken in diesen beiden Punkten und Inversionszentrum M (grüner Kreis um P). Sein Mittelpunkt kann daher mit der Mittelsenkrechten JP der Strecke MB konstruiert werden. Bei Berührung der Gerade mit dem Inversionskreis ist das Spiegelbild der Thaleskreis über der Strecke vom Berührungspunkt zu M (blassgelb.) Hat die Gerade keinen gemeinsamen Punkt mit dem Inversionskreis, wird zunächst der Fußpunkt des Inversionszentrums auf ihr konstruiert (D′ im Bild). Dieser wird am Inversionskreis gespiegelt und liefert mit dem Inversionszentrum zwei Endpunkte des Durchmessers des Spiegelbildes, das sodann konstruiert werden kann. Weil der Mittelpunkt des Bildkreises den halben Abstand zum Inversionszentrum hat, wie der Endpunkt des Durchmessers, kann der Mittelpunkt als Bild des Punktes ermittelt werden, der den doppelten Abstand vom Inversionszentrum hat, wie der Fußpunkt. Im Bild hat N′ den doppelten Abstand von M wie D′ und somit liefert die Kreisspiegelung von N′ direkt den Mittelpunkt N des Bildkreises.

Aufgabe

(Siehe hierzu Bild 7) Geraden, die nicht durch den Mittelpunkt des Inversionskreises verlaufen, werden auf Kreise abgebildet, die durch den Mittelpunkt gehen (siehe #Kreisspiegelung einer Geraden).

Die (imaginäre)[7] Gerade ${\displaystyle g}$ (definiert durch die Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$) ist am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ zu spiegeln, um den Kreis ${\displaystyle g'}$ zu erhalten.[8]

Bild 7: Spiegelung einer Geraden, die (imaginäre)[7] Gerade ${\displaystyle g}$ (dunkelblau, definiert durch die Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$) ist am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ (rot) gespiegelt, um den Kreis ${\displaystyle g'}$ (hellgrün) zu erhalten.
Die gestrichelte Gerade (${\displaystyle g}$) und die gepunktete Linie haben keine konstruktive Funktion, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.
${\displaystyle |{\overline {OP}}|=|{\overline {PM'}}|}$;    ${\displaystyle |{\overline {OM}}|\cdot |{\overline {OM'}}|=|{\overline {OP}}|\cdot |{\overline {OP'}}|}$

Animation Bild 7:
Spiegelung einer Geraden in 15 Bildern

1. Definieren der Geraden ${\displaystyle g}$:

Nach dem Einzeichnen des Inversionskreises ${\displaystyle k}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$, mit beliebigem Radius, wird der Kreisbogens ${\displaystyle b_{1}}$ um ${\displaystyle O}$ ebenfalls mit beliebigem Radius gezogen. Die anschließend auf ${\displaystyle b_{1}}$ mit beliebiger Position festgelegten Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ definieren die Gerade ${\displaystyle g}$.

2. Bestimmen des Punktes ${\displaystyle P}$ (Mitte der Strecke ${\displaystyle {\overline {AB}}}$):

Die Punkte ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D}$ werden bestimmt mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ um ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$, dies ermöglicht eine Gerade durch ${\displaystyle C}$ und ${\displaystyle D}$, sie steht senkrecht auf die Gerade ${\displaystyle g}$; Punkt ${\displaystyle E}$ entsteht mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ um ${\displaystyle B}$ und Radius ${\displaystyle |{\overline {DC}}|}$ um ${\displaystyle D}$; die Punkte ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle G}$ werden bestimmt mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {EA}}|}$ um ${\displaystyle E}$ und Radius ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ um ${\displaystyle A}$; nach einem Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {GA}}|}$ um ${\displaystyle G}$ und einem Kreisbogen mit gleicher Zirkelöffnung um ${\displaystyle F}$ ergibt sich der gesuchten Punkt ${\displaystyle P}$.

3. Der Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ des Inversionskreises ${\displaystyle k}$ an der Geraden ${\displaystyle g}$ gespiegelt ergibt einen Punkt ${\displaystyle M'}$:

Die Punkte ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle I}$ werden auf dem Inversionskreis ${\displaystyle k}$ mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {PO}}|}$ um ${\displaystyle P}$ bestimmt; Punkt ${\displaystyle J}$ erhält man mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {PO}}|}$ um ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle O}$; Punkt ${\displaystyle L}$ ergibt sich mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {PO}}|}$ um ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle J}$; je ein Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {PO}}|}$ um ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle L}$ liefert den gesuchten Punkt ${\displaystyle M'}$.

4. Der Punkt ${\displaystyle P}$ am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ gespiegelt ergibt einen Punkt ${\displaystyle P'}$ (Kreisspiegelung eines Punktes):

Die beiden Kreisbögen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {HO}}|}$ um ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle I}$ liefern den gesuchten Punkt ${\displaystyle P'}$.

5. Dieser Punkt ${\displaystyle M'}$ am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ gespiegelt ergibt den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Kreises ${\displaystyle g'}$ als Spiegelbild der Geraden ${\displaystyle g}$:

Der gezogene Kreisbogens ${\displaystyle b_{2}}$ um ${\displaystyle M'}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {M'O}}|}$ liefert die Punkte ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle N}$ auf dem Inversionskreis ${\displaystyle k}$. Nun bedarf es nur noch zweier Kreisbögen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {QO}}|}$ um Punkt ${\displaystyle Q}$ und Punkt ${\displaystyle N}$, somit ist der gesuchte Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ gefunden und der Kreis ${\displaystyle g'}$ kann abschließend mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {MO}}|}$ oder ${\displaystyle |{\overline {MP'}}|}$ gezogen werden.

In einer korrekten Konstruktion ergibt sich die Beziehung[8]

${\displaystyle |{\overline {OM}}|\cdot |{\overline {OM'}}|=|{\overline {OP}}|\cdot |{\overline {OP'}}|}$

Ein Kreis, der er durch das Inversionszentrum geht, wird auf eine Gerade abgebildet, siehe #Kreisspiegelung einer Geraden. An dieser Stelle werden Kreise betrachtet, die nicht durch das Inversionszentrum gehen. Deren Spiegelbilder sind Kreise. Allerdings sind die Mittelpunkte der Kreise nicht das Spiegelbild voneinander.

Nach der Spiegelung eines Kreises mit Mittelpunkt ${\displaystyle (x,y)}$ und Radius ${\displaystyle r}$ hat dieser den Mittelpunkt und Radius:[2]

${\displaystyle (x',y')=(x_{0},y_{0})+s(x-x_{0},y-y_{0}),\;r'=|s|r}$   mit   ${\displaystyle s={\frac {R^{2}}{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}-r^{2}}}}$

Bei Kreisspiegelung in der komplexen Zahlenebene um das Inversionszentrum c liegt der Mittelpunkt des gespiegelten Kreises bei ${\displaystyle c+s(z-c)}$, wobei ${\displaystyle s={\tfrac {R^{2}}{|z-c|^{2}-r^{2}}}}$ ist. Der Radius ${\displaystyle r'}$ ist bereits oben angegeben.

Wenn der Kreis den Inversionskreis berührt, ist die Kreisspiegelung eine zentrische Streckung um den Berührpunkt (Z in Bild 8) mit Streckfaktor |s|.

Bei der Konstruktion des gespiegelten Kreises können vier Fälle unterschieden werden, jenachdem der zu spiegelnde Kreis

1. den Inversionskreis in einem Punkt berührt oder
2. den Inversionskreis schneidet (Bild 8),
3. das Inversionszentrum umschließt (Bild 9) oder
4. das Inversionszentrum nicht umschließt. (Bild 10)

Die ersten beiden Fälle sind Spezialfälle der folgenden zwei und erlauben, im Vergleich zu letzteren, einfachere Konstruktionen.

• 
  Bild 8
• 
  Bild 9
• 
  Bild 10

Im ersten Fall der Berührung des Inversionskreises wird der Kreis (gelb in Bild 8) um den Berührpunkt Z zentrisch gestreckt. Der Streckfaktor ergibt sich aus den Bildern der Endpunkte der Durchmesser auf der Geraden vom Inversionszentrum M nach Z.

Wenn der zu spiegelnde Kreis den Inversionskreis schneidet, kann ausgenutzt werden, dass die Kreisspiegelung eine konforme Abbildung ist. Denn der Bildkreis führt auch durch den Schnittpunkt S, der als Punkt auf dem Inversionskreis Fixpunkt der Abbildung ist, siehe #Eigenschaften. Wegen der Konformität der Kreisspiegelung schließt die Tangente des Kreises und die seines Spiegelbildes in S mit der Geraden SM denselben Winkel α ein. Somit kann der Mittelpunkt P des Bildkreises konstruiert werden, indem die Gerade SN an SM gespiegelt und mit der Geraden NM zum Schnitt gebracht wird.

Bei der Konstruktion der Kreisspiegelung von Kreisen, die das Inversionszentrum umschließen (Bild 9) wird der Mittelpunkt N des zu spiegelnden Kreises mit seinem Schnittpunkt C mit der Senkrechten h zu MN in M verbunden. Der Bildpunkt C' von C wird wie in #Kreisspiegelung eines Punktes beschrieben konstruiert. Wegen der Konformität der Kreisspiegelung schließt die Tangente des Kreises in C und die seines Spiegelbilds in C' mit h denselben Winkel ein. Somit kann der Mittelpunkt P des gespiegelten Kreises durch Spiegelung von CN an CM, Verschiebung nach C' und Verlängerung bis zur Geraden NM konstruiert werden.

Die Konstruktion der Kreisspiegelung von Kreisen, die das Inversionszentrum nicht umschließen (Bild 10), ist einfacher, denn dann gibt es selbstinverse Tangenten durch das Inversionszentrum. Beide, Kreis und Spiegelbild, haben diese Tangente und es bedarf nur der Konstruktion des Berührpunktes mittels des Thaleskreises und der Kreisspiegelung des Berührpunktes, wie in #Kreisspiegelung eines Punktes beschrieben. Die Parallele im Bildpunkt zur Geraden durch den Mittelpunkt und Berührpunkt im Original liefert den Mittelpunkt des Spiegelbildes (AN ist parallel zu A'P.)

Bild 11: Spiegelung eines Kreises, der Inversionskreis ${\displaystyle a}$ (dunkelblau) ist am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ (rot) gespiegelt, um den Kreis ${\displaystyle a'}$ (hellgrün) zu erhalten.
Die gestrichelten Tangenten (${\displaystyle t_{1},\;t_{2},\;}$dunkelblau) und die gepunkteten Linien haben keine konstruktive Funktion, sie dienen lediglich der Veranschaulichung.
${\displaystyle |{\overline {OM}}|\cdot |{\overline {OO'}}|=|{\overline {OQ}}|\cdot |{\overline {OQ'}}|=r^{2}}$

Animation Bild 11:
Spiegelung eines Kreises in 16 Bildern

Aufgabe

(Siehe hierzu Bild 11)

Der Inversionskreis ${\displaystyle a}$ ist am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ zu spiegeln, um den Kreis ${\displaystyle a'}$ zu erhalten.[8]

1. Konstruktion des Mittelpunktes des Inversionskreises ${\displaystyle a}$ und dessen (imaginären)[9] Tangenten ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}}$:

Nach dem Einzeichnen des Inversionskreises ${\displaystyle k}$ um den Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ mit beliebigem Radius ${\displaystyle r}$ positioniert man den Punkt ${\displaystyle A}$ beliebig auf der Kreislinie, dies ermöglicht eine (imaginäre)[7] Gerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle O}$. Der Radius ${\displaystyle r}$ ist auf der Kreislinie viermal abzutragen, Schnittpunkte sind ${\displaystyle B,\;C,\;D}$ und ${\displaystyle E}$. Es folgt der Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle r}$ um Punkt ${\displaystyle D}$. Der Punkt ${\displaystyle F}$ ergibt sich mittels Radius ${\displaystyle r}$ um ${\displaystyle C}$; durch nochmaliges Abtragen des Radius ${\displaystyle r}$ um Punkt ${\displaystyle F}$ erhält man den Mittelpunkt ${\displaystyle G}$ des Inversionskreises ${\displaystyle a}$.

2. Der Mittelpunkt ${\displaystyle O}$ des Inversionskreises ${\displaystyle k}$ an dem Inversionskreises ${\displaystyle a}$ gespiegelt ergibt einen Punkt ${\displaystyle O'}$ (Kreisspiegelung eines Punktes):

Der eingezeichnete Inversionskreis ${\displaystyle a}$ erzeugt die Punkte ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle H}$. Dies ermöglicht jetzt die beiden Tangenten (blau gestrichelte Linien) ${\displaystyle t_{1}}$ und ${\displaystyle t_{2}}$ des Kreises ${\displaystyle a}$ mit dem Scheitel ${\displaystyle O}$ und den Berührpunkten ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle H}$ sowie die Gerade durch ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle H}$, sie steht senkrecht auf die Gerade durch ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle G}$. Die Punkte ${\displaystyle I}$ und ${\displaystyle J}$ werden bestimmt mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {QH}}|}$ um ${\displaystyle Q}$ und ${\displaystyle H}$; Punkt ${\displaystyle K}$ wird bestimmt mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {QH}}|}$ um ${\displaystyle H}$ und Radius ${\displaystyle |{\overline {IJ}}|}$ um ${\displaystyle I}$; die Punkte ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle N}$ entstehen mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {QH}}|}$ um ${\displaystyle Q}$ und Radius ${\displaystyle |{\overline {KQ}}|}$ um ${\displaystyle K}$; die beiden Kreisbögen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {LQ}}|}$ um ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle N}$ liefern den gesuchten Punkt ${\displaystyle O'}$ (Mitte der Strecke ${\displaystyle {\overline {QH}}}$).

3. Dieser Punkt ${\displaystyle O'}$ am Inversionskreis ${\displaystyle k}$ gespiegelt ergibt den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Kreises ${\displaystyle a'}$ als Spiegelbild des Inversionskreises ${\displaystyle a}$:

Die Punkte ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle R}$ werden bestimmt mittels Radius ${\displaystyle |{\overline {QO}}|}$ um ${\displaystyle Q}$; die beiden Kreisbögen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {PO}}|}$ um ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle R}$ liefern den Punkt ${\displaystyle Q'}$. Die beiden Punkte ${\displaystyle S}$ und ${\displaystyle T}$ erzeugt der Radius ${\displaystyle |{\overline {O'O}}|}$ um ${\displaystyle O'}$. Nun bedarf es nur noch zweier Kreisbögen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {SO}}|}$ um Punkt ${\displaystyle S}$ und Punkt ${\displaystyle T}$. Somit ist der gesuchte Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ gefunden und der Kreis ${\displaystyle a'}$ kann abschließend mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {MQ'}}|}$ gezogen werden.

In einer korrekten Konstruktion ergibt sich die Beziehung[8]

${\displaystyle |{\overline {OM}}|\cdot |{\overline {OO'}}|=|{\overline {OQ}}|\cdot |{\overline {OQ'}}|=r^{2}}$